裁判所では民事裁判や刑事裁判を傍聴することができますが、労働審判手続きも傍聴人がいるのでしょうか？あまり見られたくないのですが。

いえ、一般の傍聴人はいません。
労働審判手続きは原則非公開だからです（労働審判法１６条）。

同条ただし書きでは「労働審判委員会は、相当と認める者の傍聴を許すことができる。」としていますが、第三者で労働審判に興味のある人の傍聴を許すことはありません。傍聴という形を採った参考人の出席のために傍聴を許すことがあります。

会社側は会社の代表者（社長）が会社側の当事者として出席する権利がありますが、労働紛争が起こったとなると社長にはよく事情が分からないことが多いです。
そこで労働審判手続きを申し立てた労働者の元上司や同僚を労働審判手続きに事実上参加させるために傍聴を許すのです。

労働者側の傍聴人というのはこれまで見たことがありません。労働審判手続きを申し立てた労働者とその代理人弁護士のセットで参加してきます。これは、労働審判手続きは労働者の権利主張の場であり、労働者本人以上に関係事情を知る人間が労働者側にはいないからです。
　

　
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