従業員に対して始末書の提出を命じる譴責処分としましたが始末書が提出されません。これに対してさらに懲戒処分をしても良いのでしょうか？

　
譴責処分の一環として始末書の提出を命じることも業務命令です。
そうであるのに始末書を提出しないということは業務命令違反なので懲戒処分の対象となり得ます。

しかし、既に譴責処分としていて続けて始末書の未提出で懲戒処分というのは連続的で会社としてもやりにくい面はあろうかと思います。
そこで、すぐに懲戒処分を検討するのではなく、なぜ始末書を提出しないのかコミュニケーションをとり確認しましょう。

懲戒処分を受けた元となる事実そのものを認めたくない場合、記載内容として「会社から言われた事実は～ですが、事実に反しています。したがって、反省をしようがありません。」という内容で構いません。

事実は認めるが自分は悪いとは思わず反省文を書きたくない場合、記載内容として「～という事実がありました。しかし、～という理由で自分には責任がありません。」という内容で構いません。

始末書というタイトルが嫌な場合は受け入れられるタイトルに変えましょう。シンプルに「報告書」でも良いですし、「顛末書」でも構いません。ポイントはタイトルにはなく内容にあります。

始末書を提出しないことを捉えて懲戒処分をするというのも一つなのですが、今後のためには何らかの認識を示した書面をその従業員に提出させることが大切です。
後になって同種の行為があって懲戒解雇又は普通解雇をする場合には、却って反省改善の余地がないことを示す一資料にもなるので会社にとって悪くはないのです。
　

　
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