仕事が極端に遅い従業員がいて仕事についていけないので退職した方が良いと促しました。そうすると「じゃあ解雇してください」と言ってきました。本人が言っているので解雇しても構いませんか？

　
いえ、安易に解雇をするべきではありません。
本人がいくら「解雇してもらって構いませんよ。」と言っても後に労働審判手続きや民事訴訟で争われるとそれは通常の解雇として取り扱われて会社側が不利な状況に追い込まれます。

仕事が極端に遅いということはいわゆる能力不足ですが、注意指導を繰り返し改善の機会を与えておくことが必要です。
そうしなければ解雇をしても後に労働審判手続きや民事訴訟で争われると解雇無効として多額の解決金を支払う羽目に陥ります。

また、退職した方が良いと促すことは退職勧奨と言いますが、余りにも高い頻度で長期間に渡り退職勧奨を継続するとそれだけで違法な退職勧奨とされて会社に損害賠償責任が生じてしまいますし、仮にそれで追い詰められて退職するしかないという精神状態で退職してもらっても自由な意思による退職とは認められずに会社が解雇したのと同じ評価を受けてしまいます。

ご質問の場合は、以上の点に注意してください。
　

　
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